Htfukiy

A determinação do comprimento de segmentos de arco irregular — também conhecido como retificação de uma curva — representou uma dificuldade histórica. Embora muitos métodos tenham sido utilizados para curvas específicas, o advento do cálculo levou a uma formulação geral que provê a solução em alguns casos.

Definição precisa[editar | editar código-fonte]

Escolher um finito número de pontos ao longo de uma curva e conectar cada um destes pontos com o próximo com uma linha reta. A soma do comprimento de cada um destes segmentos é o comprimento de um caminho polinomial.

Definição: O comprimento de uma curva é o menor número tal que o comprimento dos caminhos polinomiais nunca pode ultrapassar, não importando quanto juntos sejam colocados os pontos finais do segmentos.

Na linguagem matemática, o comprimento do arco é o supremo de todos comprimentos de um dado caminho polinomial.

Métodos modernos[editar | editar código-fonte]

Considere uma função ${\displaystyle f(x)}$ tal que ${\displaystyle f(x)}$ e ${\displaystyle f^{\prime }(x)}$ (isto é a derivada em relação a x) são contínuas em [a, b] . O comprimento s de parte do gráfico de f entre x = a e x = b é dado pela fórmula:

${\displaystyle s={\int <!--\; \int \; -->}_a^b\sqrt{1+[f^{\prime }(x){]}^2}dx.}$

a qual se deriva da fórmula da distância aproximada do comprimento do arco composto de muitos pequenos segmentos de reta. Como o número de segmentos tende para o infinito (pelo uso da integral) esta aproximação se torna um valor exato.

Se a curva é definida parametricamente por ${\displaystyle x=X(t)}$ e ${\displaystyle y=Y(t)}$, então o comprimento do arco entre t = a e t = b é^[1]

${\displaystyle s={\int <!--\; \int \; -->}_a^b\sqrt{[X^{\prime }(t){]}^2+[Y^{\prime }(t){]}^2}dt.}$

Deve-se notar que a definição acima só pode ser considerada rigorosa caso se prove que duas parametrizações distintas geram o mesmo comprimento de arco.

Método vetorial[editar | editar código-fonte]

Seja   uma partição equidistante do domínio com ${\displaystyle ▽<!--\; ▽\; -->t=t_i-<!--\; -\; -->t_{i-<!--\; -\; -->1}}$ e ${\displaystyle P_i=\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{r}(t_i)}$,${\displaystyle i=0,1,...n}$ ,  pontos sobre a curva. Uma possível aproximação para o comprimento da curva é dado pelo comprimento da poligonal. Observe que o comprimento do segmento ${\displaystyle P_{i-<!--\; -\; -->1}{P}_i}$  é dado por ${\displaystyle ||P_i-<!--\; -\; -->P_{i-<!--\; -\; -->1}||}$, logo, a aproximação para o comprimento da curva é

${\displaystyle L_n=\underset{i=1}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{\displaystyle ||P_i-<!--\; -\; -->P_{i-<!--\; -\; -->1}||}}$

${\displaystyle =\underset{i=1}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{\displaystyle \sqrt{(x_i-<!--\; -\; -->x_{i-<!--\; -\; -->1}{)}^2+(y_i-<!--\; -\; -->y_{i-<!--\; -\; -->1}{)}^2+(z_i-<!--\; -\; -->z_{i-<!--\; -\; -->1}{)}^2}}}$

$=\underset{i=1}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\sqrt{{\left(\frac{x_i-<!--\; -\; -->x_{i-<!--\; -\; -->1}}{\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}t}\right)}^2+{\left(\frac{y_i-<!--\; -\; -->y_{i-<!--\; -\; -->1}}{\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}t}\right)}^2+{\left(\frac{z_i-<!--\; -\; -->z_{i-<!--\; -\; -->1}}{\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}t}\right)}^2}\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}t$

 Naturalmente,  ${\displaystyle L=\underset{n\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{lim}{\displaystyle Ln}}$ . Como o lado direito da última igualdade é uma soma de Riemann, temos:

${\displaystyle L=\underset{a}{\overset{b}{\int <!--\; \int \; -->}}\sqrt{{\left(\frac{dx(t)}{dt}\right)}^2+{\left(\frac{dy(t)}{dt}\right)}^2+{\left(\frac{dz(t)}{dt}\right)}^2}dt}$

${\displaystyle L={\int <!--\; \int \; -->}_a^b||\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{r}\mathrm{\prime <!--\; \prime \; -->}(t)||dt}$

Logo, o comprimento do arco S quando a parâmetro corre de  a até  t é:

${\displaystyle S(t)={\int <!--\; \int \; -->}_a^b||\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{r}\mathrm{\prime <!--\; \prime \; -->}(\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->})||d\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->},a\le <!--\; \le \; -->t\le <!--\; \le \; -->b}$

Notas[editar | editar código-fonte]

Referências[editar | editar código-fonte]

• Carmo, Manfredo Perdigão do (2010). Geometria Diferencial de Curvas e Superfícies 4 ed. Rio de Janeiro: SBM. ISBN 978-85-85818-26-5